科研:

 

主持或参加的科研项目:

1. 独立承担国家自然科学基金项目:

《非线性问题奇异解的数值方法及其在弹性力学方面的应用》(批准号:19471001)

(1995.1.-1997.12.)

2.  作为骨干参加国家教委博士点基金项目:

《非线性偏微分方程奇性解的数值解法》(1997.1.-1999.12.)

3. 主持国家自然科学基金项目:

《非线性偏微分方程奇性解与微观结构的数值解法》(批准号:19771002)(1998.1.-2000.12.)

4. 作为骨干参加国家教委博士点基金项目:

《与材料问题有关的偏微分方程数值解法》(2000.1.2002.12.)

5. 作为课题负责人参加国家重点基础研究发展规划项目(973项目, 科技部):

《大规模科学计算研究》(项目号:G1999032800)1999.102004.9)

课题《物质性质机理的多尺度计算研究》(课题号:G1999032802)1999.102001.6)

课题《基础算法的发展与创新》(课题号:G1999032804)2001.7.2004.9)

6.作为骨干参加国家教委博士点基金项目:《多尺度非线性偏微分方程的数值解法》

  (2003.1.2005.12.)

7.主持国家教委博士点基金项目:《材料微观结构非线性多尺度计算方法研究》

  (2004.1.2006.12.)

8. 作为骨干参加国家自然科学基金重点项目《偏微分方程数值求解中的自适应网格方法研究》

   (10431050). 项目起止时间 20051-200812.

9. 主持国家自然科学基金面上项目《材料科学中若干偏微分方程数值方法研究》

   (10571006). 项目起止时间 20061-200812月。

10. 获得国家自然科学基金海外青年学者合作研究基金《偏微分方程数值计算》(10528102).项目起止时间 20061-200812.

11.主持教育部博士点基金《有限元自适应方法的理论与应用》(20060001007).

   项目起止时间 20071-200912.

12. 参加国家重点基础研究发展规划项目(973项目, 科技部) 《高性能科学计算研究》 

  《基础算法的发展与创新》课题组(2005CB321701). 项目起止时间200512-201011月。

13. 主持国家自然科学基金面上项目固体材料及薄膜的若干非线性物理

现象的数值计算研究(10871011). 项目起止时间 20091-201112月。

14. 主持教育部博士点基金《弹性材料空穴生成与裂纹扩展机理的计算研究》

(20100001110004). 项目起止时间 20111-201312.

 

15. 主持国家自然科学基金面上项目《非线性软物质弹性材料的数值计算研究》

11171008. 项目起止时间 20121-201512月。

16. 主持国家自然科学基金面上项目《不可压非线性弹性材料空穴生成现象的计算研究》

11571022. 项目起止时间 20161-201912月。

 

 

主要研究方向与成果:

1.  具有Lavrentiev现象的奇异解的计算方法

  1926M. Lavrentiev发现一种变分问题奇异解,一般数值解法总导致发散的结果。

后来, 人们又发现许多物理问题中奇异解具有 Lavrentiev 现象,但对其数值求解却

束手无策。研究可以克服Lavrentiev现象的算法对研究非线性问题奇性解的数值计算

有重要的科学意义,且有重要的应用前景(例如可应用于非线性弹性力学中计算成孔

现象等)。1987, J.M. Ball G. Knowles 就一维变分问题提出了第一种算法,并

证明了算法的收敛性。本人就任意有限维变分问题先后给出了两种具有较高精度的能有

克服 Lavrentiev 现象的算法(单元消去法、有限元截断法),并且在成功的数值实

验的基础上证明了算法的收敛性 (Element removal method for singular minimizers 

in variational problems involving Lavrentiev phenomenon,  Proc. R. Soc. Lond., 

439A1992, pp.131-137; A numerical method for computing singular minimizers. 

Numerische Mathematik, 71(1995), pp.317-330)。进而在研究揭示了非线性弹性力学边值

问题弱解的存在性与微观结构之间关系 (Existence of minimizers and  microstructure 

in nonlinear elasticity. Nonlinear Analysis, 27(3)1996, pp.297-308.)的基础上,将该算

法成功地应用于非线性弹性力学边值问题的数值求解,证明了该算法在 Lavrentiev 现象和

微观结构两种奇性同时存在的情况下的收敛性 ( Numerical methods for minimizers and

microstructures in nonlinear elasticity.  Math. Models Methods Appl. Sci., 6(7)1996, 

pp.957-975.)。有关有限元截断法的进一步的理论进展(更弱条件下的收敛性,更简单的数值

实现方法,奇性的数值计算方法,以及在计算连续依赖 Sobolev 指标的 Lavrentiev gap 和具有

Lavrentiev 现象的弹性力知识题等方面) 可参见(白羽,李治平)A truncation method for 

detecting singular minimizers involving the Lavrentiev phenomenon,  Math. Models 

Methods Appl. Sci., 16(6)2006, pp.847-867, 和 (白羽,李治平)Numerical Solution 

of nonlinear elasticity problems with Lavrentiev phenomenon, Math. Models Methods 

Appl. Sci.,  17(10)2007, pp.1619-1640. 

 

非线性弹性材料中的空穴生成现象是 Lavrentiev 现象的一种

特殊表现形式,与一般 Lavrentiev 现象的不同之处在于其解的

强间断性。以上谈到的各种算法,在空穴生成现象计算方面的

推广应用还有待研究。如何有效计算空穴生成现象是当前的

热点研究课题之一。

 

 

2. 多重积分泛函序列的弱下半连续性定理与弱下半连续包的积分表示定理

  多重积分泛函序列的弱下半连续性定理与弱下半连续包的积分表示定理是研究数值

求解非拟凸泛函极小化问题的算法设计以及收敛性分析的重要理论基础。

本人近年来取得的另一项研究成果是发展了有关积分泛函序列的弱下半连续性定理

(凸与拟凸的结果分别见A theorem on lower semicontinuity of

integral functionalsProc. R. Soc. Edinburgh, 126A(1996), pp.363-374

Lower semicontinuity of multiple integrals and convergent integrands.

 ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations 1

(1996), pp.169-189.),以及弱下半连续包的积分表示定理(见An integral representation

theorem for lower semicontinuous envelopes of integral functionalsNonliear

Analysis, 32(4)1998, pp.541-548.)。与以前的结果相比,本人的结果减弱了所需的条件,尤

其是去掉了一些计算上难以实现的条件,例如被积函数序列的凸性或拟凸性条件,从而使

多重积分泛函序列的弱下半连续性定理得以应用于微观结构的数值分析与算法设计方面,

为微观结构数值计算及其收敛性分析提供了工具。

 

3.  微观结构 (microstructure) 的数学理论与数值解法

微观结构具有广泛的实际背景与应用前景(例如材料科学中奥氏体到马氏体的相变、

马氏体结晶、形状记忆合金、铁磁材料、多孔介质、复合材料、形状优化设计,

非线性弹性薄膜上的皱纹等等当中都会见到微观结构现象)。

  在数学上其困难集中体现于刻划解的结构和设计有效的算法。

问题没有通常意义下的解,其解可以通过非拟凸的能量泛函的一串含有越来越细微

振荡的极小化函数序列在测度意义下的极限分布来刻划,在应用中这种微振荡的尺度

通常在$10^{-3}$ -- $10^{-9}$ 米量级不等。准确高效地计算这种微尺度振荡在理论

和应用上都有重要意义,同时难度也很大。

  近年来本人在微观结构的数值解法方面取得的主要结果包括:

 

(a) 利用微观结构与其相应的松弛问题极小元之间的特殊关系给出了一种可同时计算

微观结构和相应松弛极小元的耦合算法,证明了算法的收敛性,并进行了成功的数值实验,

 ( Simultaneous numerical approximation of microstructures and relaxed

minimizers. Numerische Mathematik, 78(1)(1997), pp. 21-38.)与此相关的一项工作

是非凸积分泛函弱下半连续包的计算方法 (见 Computation of Lower Semicontinuous 

Envelope of Integral Functionals and Non-homogeneous MicrostructuresNonlinear

Analysis68 2008),2058-2071)。

(b) 利用齐性材料微观结构的空间相似性等特点设计了旋转变换法和增量结晶法等用以

计算层状微观结构的高精度算法,并证明了算法的收敛性,对典型的双势能井层状微观结构

的数值实验结果表明新算法在精度(相对误差由 100\% 左右减少至 $10^{-4}$ 左右)和

速度(提高5倍以上)两方面比以前的算法均有了本质的提高 ( Rotational

transformation method and some numerical techniques for computing

microstructuresMath. Models Meth. Appl. Sci., 8(6)1998,

pp. 985-1002)。该算法能够自动协调网格剖分面与层状微观结构界面间的关系,

算出完整的微观结构,且大大减少了陷入局部极小的概率,从而在一定程度上避免了

伪微观结构的生成。该算法又被进一步发展成为了更高效的算法-网格变换法

和周期松弛法 (见 A mesh transformation method for computing microstructures,  

 Numer. Math., 89(3)(2001)511-533 A Periodic relaxation method for computing 

microstructures,  Appl. Numer. Math., 32(2000), pp. 291-303). 网格变换法能够高精度捕捉

变分问题解的弱间断 (见 (周建松,李治平)Computing Non-smooth minimizers with the 

mesh transformation methodIMA J. Numer. Anal., 252005, 458-472.

 

(c) 给出了一个反例,证明传统的认为非协调有限元更适合于求解微观结构观点是不正确的

(见Laminated microstructure in a variational problems with a non-rank-one

connected double well potential  J. Math. Anal. Appl., 217(1998), pp.490-500)。

 

(d)提出了一种有效的计算多层微观结构的计算方法 (see Finite order rank-one convex 

envelopes and computation of microstructures with laminates in laminatesBIT Numer. Math., 

40(2000), 745-761). 该方法被进一步发展成计算有限阶秩一凸包的高效算法(见 (王欣,

李治平)A numerical iterative scheme for computing finite order rank-one 

convex envelopesAppl. Math. Comp., 182007, 19-30.

 

(e) 提出了一种网格变换与重整方法,成功模拟计算了针状微观结构及其生长(见 Mesh 

transformation and regularization in numerical simulation of austenitic-

martensitic phase transitionComputational Materials Science 21(2001), pp. 418-428

Computations of needle-like microstructuresAppl. Numer. Math., 39(2001), pp. 1-15.

 

(f) 在晶体层状微观结构,针状微观结构、分岔及尺度律等的数值模拟方面取得了

一定的成果(见 A numerical study on the Scale of Laminated Microstructure with 

Surface Energy.  Material Sci. & Engrg, A 343(2003), 182-193 Numerical

Justification of  Branched Laminated Microstructure with Surface Energy. 

SIAM J. Sci. Compt,24(3)(2003), 1054-1075。以及 (刘丽英,李治平)Computation 

of length scales for second-order laminated microstructure with surface 

energyAppl. Math. Modelling, 312007, 245-258.

 

(g) 在应力诱导相变和微观结构的多尺度模拟和计算方面取得了一定的成果(见 Numerical

 computation of stress induced microstructure Science in China, series A

 vol. 47, supp.,2004, pp. 165-171,  Multiscale modelling and computation of
microstructures in multi-well problems
Math. Mod. Meth. Appl. Sci., 9(14)2004, 1343-1360.).

 

4. 磁微观结构的数值分析与数值计算

分析研究了计算磁微观结构的多点 Young 测度和人工边界方法 (see  (李治平, 巫孝南) 

Multi-atomic Young measure and artificial boundary in approximation of micromagneticsAppl. Numer

Math., 51(1)2004, 69-88.)。构造了一种利用非协调有限元结合多点 Young 测度和人工边界

计算磁微观结构问题的有效算法 (见(许现民,李治平) Non-Conforming Finite Element 

and Artificial Boundary in Multi-atomic Young Measure Approximation for 

MicromagneticsAppl. Numer. Math., 59 (2009), 920-937, 证明了该算法的

稳定性和收敛性 (见 (李治平,许现民)Convergence and Stability of a 

Numerical Method for MicromagneticsNumerische Mathematik112(2009), 245-265,

另外分析给出了一个可靠的后验误差估计子和相应的网格自适应算法见(许现民,李治平)

A Posteriori Error Estimates of a Non-conforming Finite Element Method for Problems with 

Artificial Boundary Conditions, J. Comp. Math., 27(6) 2009, 677-696. (Xianmin Xu and Zhiping Li) 

(DOI: 10.4208//jcm.2009.09-m2608).)。

 

5. 弹性薄膜翘曲、褶皱的数值模拟与计算

通过数值建模和模拟,研究了在初始压缩残余应力作用下各向异性弹性薄膜在粘性基底上

褶皱的生成、发展和演化过程 (见 (蒋维,李治平)A Numerical Study of Wrinkling 

Evolution of an Elastic Film on a Viscous LayerModelling Simul. Mater. Sci.

Eng., 17 (2009), 055010.

在弹性薄膜电话线型翘曲的数值模拟方面,通过建立弹性薄膜电话线型翘曲的基于非线性von Karman 板方程的扇环模型将弹性薄膜脱层翘曲的若干重要参数嵌入计算模型(见(王珊,李治平)Mathematical modeling and numerical simulation of telephone cord buckles of elastic films, Sci. China Math., 54(5) 2011: 1063-1076.),并通过选取混合模式的断裂准则将弹性薄膜电话线型翘曲数值解的几何参数与薄膜系统力学参数之间建立起对应关系,从而得到了通过测量弹性薄膜电话线型翘曲的几何参数反演出薄膜系统力学参数的方法(见(王珊,李治平)Evaluation of mechanical parameters of an elastic thin film system by modeling and numerical simulation of telephone cord buckles, J. Comput. Appl. Math.,236 (5) 2011,

860866.)。针对在电话线型薄膜翘曲数值模拟中出现的复杂几何形状和边界条件设计实现了高阶偏微分方程的多端点切比雪夫配置法。数值实验表明,该方法在数值求解高阶偏微分方程边值问题,尤其是复杂边界条件下的非线性高阶偏微分方程边值问题时,与标准的配置法相比,有更好的表现。(见 (王珊,李治平)A Multiple-endpoints Chebysheve Collocation Method for High Order Differential EquationsContemporary Mathematics, Volume 586 (2013), 365-373.)

6. 非线性弹性材料空穴问题的数值计算与数值分析

在非线性超弹性材料空穴生成现象的算法设计与数值模拟方面:给出了一种适于计算二维空穴生成的双参数有限元,克服了分片线性有限元在保定向逼近扩张占优型超大变形方面的困难,成功地计算出初始半径为10-10的圆形缺陷生长成的半径约为1.4的空穴。该方法是高维空穴生成现象计算方法的一项突破性的进展。(见(连义江,李治平)A dual-parametric finite element method for cavitation in nonlinear elasticity, J. Comput. Appl. Math., 236 (5) 2011, 834842.),给出了一种适于计算多个任意形状二维空穴生成的等参元,通过数值实验验证了Sivaloganathan Spector 单个空穴问题构型力理论成立的先觉条件和结论,并在数值上验证了单个空穴问题构型力的理论结果可推广至多空穴的问题(见(连义江,李治平)A Numerical Study on Cavitation in Nonlinear Elasticity ---- Defects and Configurational Forces, Math. Mod. Meth. Appl. Sci., 21(12)2011, 25512574.)应用二次等参元结合适当的剖分成功地对两个空穴的相互作用进行了数值模拟。大量的数值实验结果显示两个空穴的生长和相互作用与它们的绝对尺度、相对尺度和空穴间距离等几何因素有强关联,在临界点两侧会观察到截然不同的结果,材料的某些力学参数也对结果又重要影响(见(连义江,李治平)Position and size effects on voids growth in nonlinear elasticityInt. Journal of Fracture, 173(2), pp 147-161, 2012)

 

在非线性软弹性材料空穴计算的数值分析方面:分析了空穴解二次双参有限元插值的保定向条件和误差,并在此基础上建立了最佳网格剖分策略,证明了在由最佳网格剖分策略产生的网格上得到的有限元空穴解的收敛性,并通过数值实验验证了理论分析结果(见 苏春梅,李治平 Error Analysis of a Dual-parametric Bi-quadratic FEM in Cavitation Computation in Elasticity. SIAM Journal on Numerical Analysis. Vol. 53, No. 3. July 2015. pp. 1629-1649.)。这是文献中关于有限元空穴解数值分析方面的第一个工作。对二次三角等参元的保定向条件和空穴解的有限元插值误差给出了分析, 给出了计算空穴解的有效可靠的剖分策略以及在所得网格上的有限元空穴解的误差估计(见 苏春梅,李治平 Orientation-Preservation Conditions on an Iso-parametric FEM in Cavitation ComputationScience in China: Mathematics40(4) 2017719-734. 苏春梅,李治平 A meshing strategy for a quadratic iso-parametric FEM incavitation computation in nonlinear elasticity, Journal of Computational and Applied Mathematics 330 (2018) 630647.

 

在非线性软弹性材料空穴计算的算法设计与分析方面:发展了用于空穴计算的 Fourier-Chebyshev 拟谱方法,证明了算法的收敛性(见(魏亮,李治平)Fourier-Chebyshev spectral method for cavitation computation in nonlinear elasticity, Front. Math. China, 13(1) 2018: 203226.

 

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