12 R矩阵和数组

12.1 R矩阵

矩阵用matrix函数定义,实际存储成一个向量,根据保存的行数和列数对应到矩阵的元素, 存储次序为按列存储。 定义如

##      [,1] [,2]
## [1,]   11   14
## [2,]   12   15
## [3,]   13   16
##      [,1] [,2]
## [1,]    1   -1
## [2,]    1    1

matrix()函数把矩阵元素以一个向量的形式输入, 用nrowncol规定行数和列数,向量元素填入矩阵的缺省次序是按列填入, 用byrow=TRUE选项可以转换成按行填入。

nrow()ncol()函数可以访问矩阵的行数和列数,如

## [1] 3
## [1] 2

矩阵有一个dim属性,内容是两个元素的向量, 两个元素分别为矩阵的行数和列数。dim属性可以用dim()函数访问。如

## $dim
## [1] 3 2
## [1] 3 2

函数t(A)返回A的转置。

12.2 矩阵子集

A[1,]取出A的第一行,变成一个普通向量。 用A[,1]取出A的第一列,变成一个普通向量。 用A[c(1,3),1:2]取出指定行、列对应的子矩阵。 如

##      [,1] [,2]
## [1,]   11   14
## [2,]   12   15
## [3,]   13   16
## [1] 11 14
## [1] 11 12 13
##      [,1] [,2]
## [1,]   11   14
## [2,]   13   16

colnames()函数可以给矩阵每列命名, 也可以访问矩阵列名, 用rownames()函数可以给矩阵每行命名, 也可以访问矩阵行名。如

##    X  Y
## a 11 14
## b 12 15
## c 13 16

矩阵可以有一个dimnames属性, 此属性是两个元素的列表(列表见稍后部分的先容), 两个元素分别为矩阵的行名字符型向量与列名字符型向量。 如果仅有其中之一,缺失的一个取为NULL

有了列名、行名后,矩阵下标可以用字符型向量, 如

##  a  b  c 
## 14 15 16
##  X  Y 
## 12 15
##  a  c 
## 14 16

注意在对矩阵取子集时, 如果取出的子集仅有一行或仅有一列, 结果就不再是矩阵而是变成了R向量, R向量既不是行向量也不是列向量。 如果想避免这样的规则起作用, 需要在方括号下标中加选项drop=FALSE, 如

##    X
## a 11
## b 12
## c 13

取出了A的第一列, 作为列向量取出, 所谓列向量实际是列数等于1的矩阵。 如果用常量作为下标, 其结果维数是确定的,不会出问题; 如果用表达式作为下标, 则表达式选出零个、一个、多个下标, 结果维数会有不同, 加drop=FALSE则是安全的做法。

矩阵也可以用逻辑下标取子集,比如

##    X  Y
## a 11 14
## b 12 15
## c 13 16
##  a  b  c 
## 14 15 16

矩阵本质上是一个向量添加了dim属性, 实际保存还是保存成一个向量, 其中元素的保存次序是按列填入, 所以, 也可以向对一个向量取子集那样, 仅用一个正整数向量的矩阵取子集。如

##    X  Y
## a 11 14
## b 12 15
## c 13 16
## [1] 11 13 15

为了挑选矩阵的任意元素组成的子集而不是子矩阵, 可以用一个两列的矩阵作为下标, 矩阵的每行的两个元素分别指定一个元素的行号和列号。 如

##    X  Y
## a 11 14
## b 12 15
## c 13 16
##      [,1] [,2]
## [1,]    1    1
## [2,]    2    2
## [3,]    3    2
## [1] 11 15 16

c(A)A[]返回矩阵A的所有元素。 如果要修改矩阵A的所有元素, 可以对A[]赋值。

对矩阵Adiag(A)访问A的主对角线元素组成的向量。 另外,若x为正整数值标量,diag(x)返回x阶单位阵; 若x为长度大于1的向量, diag(x)返回以x的元素为主对角线元素的对角矩阵。

12.3 cbind()rbind()函数

x是向量,cbind(x)x变成列向量, 即列数为1的矩阵, rbind(x)x变成行向量。

x1, x2, x3是等长的向量, cbind(x1, x2, x3)把它们看成列向量并在一起组成一个矩阵。 cbind()的自变量可以同时包含向量与矩阵,向量的长度必须与矩阵行数相等。 如

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    3    5
## [2,]    2    4    6
##    X  Y   
## a 11 14  1
## b 12 15 -1
## c 13 16 10

cbind()的自变量中也允许有标量, 这时此标量被重复使用。 如

##      [,1] [,2]
## [1,]    1    1
## [2,]    1   -1
## [3,]    1   10

rbind()用法类似, 可以等长的向量看成行向量上下摞在一起, 可以是矩阵与长度等于矩阵列数的向量上下摞在一起, 向量长度为1也可以。

12.4 矩阵运算

12.4.1 四则运算

矩阵可以与标量作四则运算,结果为每个元素进行相应运算,如

##    X  Y
## a 11 14
## b 12 15
## c 13 16
##    X  Y
## a 13 16
## b 14 17
## c 15 18
##     X   Y
## a 5.5 7.0
## b 6.0 7.5
## c 6.5 8.0

当运算为矩阵乘以一个标量时, 就是线性代数中的矩阵的数乘运算。

两个同形状的矩阵进行加、减运算, 即对应元素相加、相减, 用A + BA - B表示,如

##      X    Y
## a 18.5 23.0
## b 20.0 24.5
## c 21.5 26.0
##     X    Y
## a 7.5  9.0
## b 8.0  9.5
## c 8.5 10.0

这就是线性代数中矩阵的加、减运算。

对两个同形状的矩阵, 用*表示两个矩阵对应元素相乘(注意这不是线性代数中的矩阵乘法), 用/表示两个矩阵对应元素相除。 如

##      X     Y
## a 71.5 112.0
## b 84.0 127.5
## c 97.5 144.0
##          X        Y
## a 2.363636 2.285714
## b 2.333333 2.266667
## c 2.307692 2.250000

12.4.2 矩阵乘法

%*%表示矩阵乘法而不是用*表示, 注意矩阵乘法要求左边的矩阵的列数等于右边的矩阵的行数。 如

##    X  Y
## a 11 14
## b 12 15
## c 13 16
##      [,1] [,2]
## [1,]    1   -1
## [2,]    1    1
##   [,1] [,2]
## a   25    3
## b   27    3
## c   29    3

12.4.3 向量与矩阵相乘

矩阵与向量进行乘法运算时, 向量按需要说明成列向量或行向量。 当向量左乘矩阵时,看成行向量; 当向量右乘矩阵时,看成列向量。 如

##      [,1] [,2]
## [1,]    1   -1
## [2,]    1    1
##      [,1] [,2]
## [1,]    2    0
##      [,1]
## [1,]    0
## [2,]    2
##      [,1]
## [1,]    2

注意矩阵乘法总是给出矩阵结果, 即使此矩阵已经退化为行向量、列向量甚至于退化为标量也是一样。 如果需要,可以用c()函数把一个矩阵转换成按列拉直的向量。

12.4.4 内积

x, y是两个向量, 计算向量内积, 可以用sum(x*y)表示。

\(A\), \(B\)是两个矩阵, \(A^T B\)是广义的内积, 也称为叉积(crossprod), 结果是一个矩阵, 元素为\(A\)的每列与\(B\)的每列计算内积的结果。 \(A^T B\)在R中可以表示为crossprod(A, B), \(A^T A\)可以表示为crossprod(A)。 要注意的是,crossprod()的结果总是矩阵, 所以计算两个向量的内积用sum(x,y)而不用crossprod(x,y)

12.4.5 外积

R向量支撑外积运算, 记为%o%, 结果为矩阵。 x %o% y的第\(i\)行第\(j\)列元素等于x[i]乘以y[j]。 如

##      [,1] [,2]
## [1,]    1   -1
## [2,]    2   -2
## [3,]    3   -3

这种运算还可以推广到x的每一元素与y的每一元素进行其它的某种运算, 而不限于乘积运算,可以用outer(x,y,f)完成, 其中f是某种运算,或者接受两个自变量的函数。

12.5 逆矩阵与线性方程组求解

solve(A)A的逆矩阵,如

##      [,1] [,2]
## [1,]  0.5  0.5
## [2,] -0.5  0.5

solve(A,b)求解线性方程组\(A x = b\)中的\(x\), 如

## [1] 1.5 0.5

求解了线性方程组 \[ \left(\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) x = \left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \right) \]

12.6 apply()函数

apply(A, 2, FUN)把矩阵A的每一列分别输入到函数FUN中, 得到对应于每一列的结果,如

##      [,1] [,2]
## [1,]    6    5
## [2,]    2    4
## [3,]    3    1
## [1] 11 10

apply(A, 1, FUN)把矩阵A的每一行分别输入到函数FUN中, 得到与每一行对应的结果,如

## [1] 5.5 3.0 2.0

如果函数FUN返回多个结果, 则apply(A, 2, FUN)结果为矩阵, 矩阵的每一列是输入矩阵相应列输入到FUN的结果, 结果列数等于A的列数。如

##      [,1] [,2]
## [1,]    2    1
## [2,]    6    5

如果函数FUN返回多个结果, 为了对每行计算FUN的结果, 结果存入一个与输入的矩阵行数相同的矩阵, 应该用t(apply(A, 1, FUN))的形式, 如

##      [,1] [,2]
## [1,]    5    6
## [2,]    2    4
## [3,]    1    3

12.7 多维数组

矩阵是多维数组(array)的特例。 矩阵是\(x_{ij}, i=1,2,\dots,n,\; j=1,2,\dots,m\)这样的两下标数据的存贮格式, 三维数组是\(x_{ijk}, i=1,2,\dots,n,\; j=1,2,\dots,m,\; k=1,2,\dots,p\)这样的三下标数据的存贮格式, \(s\)维数组则是有\(s\)个下标的数据的存贮格式。 实际上, 给一个向量添加一个dim属性就可以把它变成多维数组。

多维数组的一般定义语法为

数组名 <- array(数组元素, 
  dim=c(第一下标个数, 第二下标个数, ..., 第s下标个数))

其中数组元素的填入次序是第一下标变化最快, 第二下标次之, 最后一个下标是变化最慢的。 这种次序称为FORTRAN次序。

下面是一个三维数组定义例子。

## , , 1
## 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    3    5
## [2,]    2    4    6
## 
## , , 2
## 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    7    9   11
## [2,]    8   10   12
## 
## , , 3
## 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   13   15   17
## [2,]   14   16   18
## 
## , , 4
## 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   19   21   23
## [2,]   20   22   24

这样的数组保存了\(x_{ijk}, i=1,2,\; j=1,2,3,\; k=1,2,3,4\)。 三维数组ara可以看成是4个\(2 \times 3\)矩阵。 取出其中一个如ara[,,2](取出第二个矩阵)

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    7    9   11
## [2,]    8   10   12

多维数组可以利用下标进行一般的子集操作, 比如ara[,2, 2:3]\(x_{ijk}, i=1,2,\; j=2,\; k=2,3\)的值, 结果是一个\(2 \times 2\)矩阵:

##      [,1] [,2]
## [1,]    9   15
## [2,]   10   16

多维数组在取子集时如果某一维下标是标量, 则结果维数会减少, 可以在方括号内用drop=FALSE选项避免这样的规则发生作用。

类似于矩阵, 多维数组可以用一个矩阵作为下标, 如果是三维数组,矩阵就需要有3列, 四维数组需要用4列矩阵。 下标矩阵的每行对应于一个数组元素。